網(wǎng)站關(guān)鍵詞描述,用jsp做網(wǎng)站登錄界面模板,網(wǎng)絡綜合布線設計方案,全屏網(wǎng)站模板制作教程概率論與數(shù)理統(tǒng)計思維導圖 一、概率論基礎 1. 隨機事件與概率 隨機試驗#xff1a;可重復、結(jié)果已知但不確定樣本空間(Ω)#xff1a;所有可能結(jié)果的集合隨機事件#xff1a;Ω的子集 基本事件#xff1a;單元素子集必然事件(Ω)#xff1a;一定發(fā)生不可能事件(?)#x…概率論與數(shù)理統(tǒng)計思維導圖一、概率論基礎1. 隨機事件與概率隨機試驗可重復、結(jié)果已知但不確定樣本空間(Ω)所有可能結(jié)果的集合隨機事件Ω的子集基本事件單元素子集必然事件(Ω)一定發(fā)生不可能事件(?)一定不發(fā)生事件關(guān)系包含(?)、相等()、互斥(∩?)、對立(∩?且∪Ω)事件運算并(∪)、交(∩)、差(-)、補(ˉ)概率公理化定義非負性P(A)≥0規(guī)范性P(Ω)1可列可加性互斥事件和的概率等于概率的和概率性質(zhì)P(?)0P(ā)1-P(A)P(A-B)P(A)-P(AB)P(A∪B)P(A)P(B)-P(AB)2. 概率計算五大公式加法公式P(A∪B)P(A)P(B)-P(AB)減法公式P(A-B)P(A)-P(AB)乘法公式P(AB)P(A)P(B|A) (P(A)0)全概率公式P(A)∑P(B_i)P(A|B_i) (B_i構(gòu)成完備事件組)貝葉斯公式P(B_j|A)P(B_j)P(A|B_j)/∑P(B_i)P(A|B_i)3. 常見概率模型古典概型有限等可能樣本點P(A)|A|/|Ω|幾何概型無限等可能樣本點P(A)m(A)/m(Ω)伯努利概型獨立重復試驗每次結(jié)果只有兩種可能4. 事件獨立性定義P(AB)P(A)P(B)性質(zhì)A與B獨立→A與B?、ā與B、ā與B?也獨立條件獨立P(AB|C)P(A|C)P(B|C)二、隨機變量及其分布1. 隨機變量概念定義樣本空間到實數(shù)的映射X(ω)分類離散型(有限或可數(shù)個值)、連續(xù)型(區(qū)間內(nèi)取值)2. 離散型隨機變量分布律P(Xx_k)p_k (k1,2,…)常用分布0-1分布P(X1)p, P(X0)1-p二項分布B(n,p)n次伯努利試驗成功次數(shù)P(Xk)C(n,k)pk(1-p)(n-k)泊松分布P(λ)稀有事件發(fā)生次數(shù)P(Xk)λ^k e^(-λ)/k!E(X)D(X)λ3. 連續(xù)型隨機變量概率密度函數(shù)f(x)非負可積P(aX≤b)∫(a→b)f(x)dx分布函數(shù)F(x)F(x)P(X≤x)∫(-∞→x)f(x)dx性質(zhì)單調(diào)不減、右連續(xù)、F(-∞)0、F(∞)1常用分布均勻分布U(a,b)f(x)1/(b-a) (axb)指數(shù)分布E(λ)f(x)λe^(-λx) (x0)無記憶性P(Xst|Xs)P(Xt)正態(tài)分布N(μ,σ2)f(x)[1/(σ√(2π))]e^(-(x-μ)2/(2σ2))標準正態(tài)N(0,1)4. 隨機變量函數(shù)的分布離散型Yg(X)求Y的分布律連續(xù)型一般方法F_Y(y)P(Y≤y)P(g(X)≤y)求導得f_Y(y)單調(diào)函數(shù)f_Y(y)f_X(g(-1)(y))|(g(-1))(y)|三、多維隨機變量及其分布1. 二維隨機變量聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)P(X≤x,Y≤y)離散型聯(lián)合分布律P(Xx_i,Yy_j)p_ij連續(xù)型聯(lián)合概率密度f(x,y)F(x,y)∫(-∞→x)∫(-∞→y)f(u,v)dvdu2. 邊緣分布X的邊緣分布F_X(x)F(x,∞)f_X(x)∫(-∞→∞)f(x,y)dyY的邊緣分布類似定義3. 條件分布離散型P(Xx_i|Yy_j)P(Xx_i,Yy_j)/P(Yy_j)連續(xù)型f_X|Y(x|y)f(x,y)/f_Y(y)4. 隨機變量獨立性定義F(x,y)F_X(x)F_Y(y)或f(x,y)f_X(x)f_Y(y)性質(zhì)獨立→不相關(guān)(但反之不成立)正態(tài)分布獨立當且僅當ρ05. 二維函數(shù)分布ZXY卷積公式f_Z(z)∫(-∞→∞)f(x,z-x)dx (X,Y獨立時)Zmax(X,Y)F_Z(z)F_X(z)F_Y(z)Zmin(X,Y)F_Z(z)1-(1-F_X(z))(1-F_Y(z))四、隨機變量的數(shù)字特征1. 數(shù)學期望離散型E(X)∑x_k p_k連續(xù)型E(X)∫(-∞→∞)x f(x)dx性質(zhì)E?cE(aXb)aE(X)bE(XY)E(X)E(Y)獨立時E(XY)E(X)E(Y)2. 方差與標準差方差D(X)E[(X-E(X))2]E(X2)-[E(X)]2標準差σ(X)√D(X)性質(zhì)D?0D(aXb)a2D(X)獨立時D(XY)D(X)D(Y)3. 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)協(xié)方差Cov(X,Y)E[(X-E(X))(Y-E(Y))]E(XY)-E(X)E(Y)相關(guān)系數(shù)ρ(X,Y)Cov(X,Y)/(√D(X)√D(Y))|ρ|≤1性質(zhì)Cov(X,Y)Cov(Y,X)Cov(aX,bY)abCov(X,Y)獨立時Cov(X,Y)04. 矩k階原點矩E(X^k)k階中心矩E[(X-E(X))^k]方差是二階中心矩五、大數(shù)定律與中心極限定理1. 大數(shù)定律切比雪夫不等式P(|X-E(X)|≥ε)≤D(X)/ε2辛欽大數(shù)定律獨立同分布隨機變量序列算術(shù)平均依概率收斂于期望伯努利大數(shù)定律頻率依概率收斂于概率2. 中心極限定理獨立同分布中心極限定理標準化和近似服從標準正態(tài)分布棣莫弗-拉普拉斯定理二項分布標準化后近似標準正態(tài)分布六、數(shù)理統(tǒng)計基礎1. 基本概念總體研究對象全體個體總體中每個元素樣本從總體抽取的部分個體簡單隨機樣本滿足獨立性和代表性統(tǒng)計量樣本的不含未知參數(shù)的函數(shù)如樣本均值、樣本方差2. 常用統(tǒng)計分布χ2分布n個獨立標準正態(tài)變量平方和E(χ2(n))nD(χ2(n))2nt分布標準正態(tài)與χ2(n)平方根之比對稱分布當n→∞時接近標準正態(tài)F分布兩個χ2分布除以各自自由度之比F(m,n)1/F(n,m)3. 抽樣分布樣本均值分布E(?X)μD(?X)σ2/n (正態(tài)總體時?X~N(μ,σ2/n))樣本方差分布(n-1)S2/σ2~χ2(n-1)七、參數(shù)估計1. 點估計矩估計法用樣本矩替代總體矩求解參數(shù)最大似然估計法構(gòu)造似然函數(shù)求使觀測值概率最大的參數(shù)值2. 區(qū)間估計置信區(qū)間參數(shù)以給定概率(置信水平)包含在區(qū)間內(nèi)正態(tài)總體參數(shù)區(qū)間估計均值μσ已知用Z區(qū)間σ未知用t區(qū)間方差σ2用χ2區(qū)間八、假設檢驗1. 基本概念原假設(H?)與備擇假設(H?)兩類錯誤第一類錯誤(α)拒絕真H?第二類錯誤(β)接受假H?顯著性水平控制第一類錯誤概率α2. 檢驗步驟提出H?和H?選擇檢驗統(tǒng)計量確定拒絕域計算統(tǒng)計量值并決策3. 正態(tài)總體參數(shù)檢驗均值檢驗Z檢驗(σ已知)、t檢驗(σ未知)方差檢驗F檢驗(兩總體方差比較)、χ2檢驗(單總體方差)思維導圖總結(jié)概率論與數(shù)理統(tǒng)計 ├── 概率論基礎 │ ├── 隨機事件與概率 │ ├── 概率計算五大公式 │ ├── 常見概率模型 │ └── 事件獨立性 ├── 隨機變量及其分布 │ ├── 隨機變量概念 │ ├── 離散型隨機變量 │ ├── 連續(xù)型隨機變量 │ └── 隨機變量函數(shù)分布 ├── 多維隨機變量 │ ├── 二維隨機變量 │ ├── 邊緣分布 │ ├── 條件分布 │ └── 隨機變量獨立性 ├── 數(shù)字特征 │ ├── 數(shù)學期望 │ ├── 方差與標準差 │ └── 協(xié)方差與相關(guān)系數(shù) ├── 極限定理 │ └── 大數(shù)定律與中心極限定理 └── 數(shù)理統(tǒng)計 ├── 基本概念與抽樣分布 ├── 參數(shù)估計 └── 假設檢驗